Вычисление объемов и площадей в интегралах

В предыдущих параграфах мы рассматривали в основном интегралы от алгебраических функций. В настоящем параграфе мы рассмотрим более подробно интегралы от тригонометрических функций.

Интегрирование по частям

Пусть u(x) и v(x) являются дифференцируемыми функциями. Дифференциал произведения функций u и v определяется формулой Проинтегрировав обе части этого выражения, получим или, переставляя члены,

Это и есть формула интегрирования по частям. Метод Гаусса

Функции двух переменных В естествознании встречаются ситуации, когда одна величина является функцией нескольких других:

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Используем формулу интегрирования по частям . Пусть . Тогда Следовательно,

Пример Проинтегрировать . Математика Задачи Комплексные числа

Решение. В соответствии с формулой интегрирования по частям полагаем u = ln x, dv = dx. Тогда . Получаем

  Пример.

 

.

  Теперь продифференцируем полученное выражение, умножим на  и сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х. Функциональные ряды. Основные понятия: область и точка сходимости, равномерная сходимость. Теорема Вейерштрасса (док.). Функциональным называется ряд, члены которого есть непрерывные функции от x u1(x)+u2(x)+u3(x)+…+un(x)+…=un (x). Совокупность значений аргумента, при которых функ-й ряд сходится, называется областью сходимости ряда.

=

=

 

Итого =

=

Метод замены переменной
В дифференциальном исчислении задача отыскания производной или дифференциала данной функции сводилась к отысканию в таблице соответствующей формулы, а затем по ней с использованием правил— производной или дифференциала этой функции