Математика решение задач контрольной работы

Машиностроительное черчение
Выполнение чертежей деталей
Разьемные соединения
Соединение шпилькой, трубное
Эскизирование деталей
Фотодело
Модели цифровых
фотоаппаратов
Трехцветный мир (RGB)
Зеркальные цифровые
фотоаппараты
Софт печати для
цифровой камеры
Обработка фотографий
Получение качественных
фотографий
Обработка изображений
Инстументы обработки
изображений
Использование фильтров
для обработки фото
Работа с обьектами и текстом
Фильтры Adobe Illustrator
Форматы документов,
публикация в Web
Искусство
История искусства
Ренессанс
Проторенессанс
Искусство Китая художники
дикой природы
средневековая философия
Китайские пейзажисты
Информатика
Характеристики и принципы
работы накопителей
Разрешение аппаратных
конфликтов
Электротехника
Задачи курсовой
Математика
Примеры решения задач
контрольной работы
Вычисление площадей
Вычисление длин дуг
Тройные и двойные интегралы
при решении задач
Вычисление объемов с помощью
тройных интегралов
Метод замены переменной
Площадь криволинейной трапеции
Двойные интегралы в полярных
координатах
Геометрические приложения
криволинейных интегралов
Интегрирование по частям

Задача 7. а) Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Общее решение у данного уравнения равно сумме общего решения  однородного уравнения и какого-либо частного решения данного уравнения, то есть

.

Для нахождения  составим характеристическое уравнение , имеющее комплексные корни  и . В этом случае общее решение однородного уравнения ищем в виде

, (4)

где  – комплексные корни характеристического уравнения. Подставив в (4) , имеем:

.

Для нахождения частного решения  неоднородного дифференциального уравнения воспользуемся следующей теоремой: если правая часть неоднородного уравнения есть функция  и числа  не являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение . Если же числа  являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение .

Применяя эту теорему при , имеем:

.

Дважды дифференцируя последнее равенство, находим :

.

Подставив в данное уравнение  и , получим:

,

откуда .

Следовательно,  и

.

Найдем :

.

Используя начальные условия, получим систему

откуда .

Следовательно,  есть искомое частное решение данного дифференциального уравнения.

Задача 7. б) Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Находим общее решение однородного уравнения . Характеристическое уравнение  имеет два корня:  и ; .

В правой части заданного уравнения имеется показательная функция. Так как в данном случае  совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение  следует искать в виде функции .

Таким образом, ; дифференцируя дважды это равенство, получим: ; . Подставим ,  и  в левую часть заданного уравнения и определим коэффициент А:

.

Следовательно, частное решение , общее решение

. (*)

Используя начальные условия, определим значения произвольных постоянных  и . Дифференцируя общее решение (*), получим:

. (**)

Подставив в общее решение (*)  и , будем иметь .

Подставив в (**)  и , будем иметь:

.

Решая совместно систему

Находим:  и .

 Таким образом,  есть то частное решение, которое удовлетворяет заданным начальным условиям.

На главную