Задача 3. 1) Исследовать на экстремум функцию
.
Решение. Находим стационарные точки.

Решение последней системы дает 4 стационарные точки:
.
Находим частные производные второго порядка:

Исследуем каждую стационарную точку.
1) В точке
Так как
и
, то в этой точке функция имеет минимум.

2) В точке
Так как
и
, то в этой точке функция имеет максимум.

3) В точке
Так как
, то в этой точке нет экстремума.
4) В точке
Так как
, то в этой точке нет экстремума.
2) Найти наибольшее и наименьшее значение функции
в замкнутом треугольнике АОВ, ограниченном осями координат и прямой
(рис. 8).

Решение. Найдем стационарные точки.

Решая систему

находим стационарную точку
. Эта точка лежит внутри области. Вычислим значение функции
в этой точке.

Граница заданной области состоит из отрезка ОА оси Ох, отрезка ОВ
оси Оу и отрезка АВ. Определим наибольшее и наименьшее значение функции
на каждом из этих трех
участков. На отрезке ОА
а
. При
функция
есть функция одной независимой переменной х. Находим наибольшее
и наименьшее значение этой функции на отрезке
.
;
– стационарная точка.
.
Вычислим значения функции на концах отрезка ОА, то есть в точках
О и А.
.
На отрезке ОВ
и
. При
имеем
. Находим наибольшее и наименьшее значение этой функции
от переменной у на отрезке
.
;
– стационарная точка.
.
Вычислим значения функции
на концах отрезка ОВ, то есть в точках О и В.
. Исследуем теперь отрезок
АВ. Уравнение прямой АВ:
. Подставив это выражение для у в заданную функцию
,
получим
или
. Определим наибольшее и наименьшее значение
этой функции на отрезке
.
;
– стационарная точка.
.
Значения функции в точках А и В найдены ранее. Сравнивая полученные
результаты, заключаем, что наибольшее значение заданная функция
в заданной замкнутой области достигает в точке
, а наименьшее значение – в стационарной точке
. Таким образом,
и
.