Задача 3. 1) Исследовать на экстремум функцию
.
Решение. Находим стационарные точки.
Решение последней системы дает 4 стационарные точки:
.
Находим частные производные второго порядка:
Исследуем каждую стационарную точку.
1) В точке
Так как
и
, то в этой точке функция имеет минимум.
2) В точке
Так как
, то в этой точке функция имеет максимум.
3) В точке
Так как
, то в этой точке нет экстремума.
4) В точке
Так как
2) Найти наибольшее и наименьшее значение функции
в замкнутом треугольнике АОВ, ограниченном осями координат и прямой
(рис. 8).
Решение. Найдем стационарные точки.
Решая систему
находим стационарную точку
. Эта точка лежит внутри области. Вычислим значение функции в этой точке.
Граница заданной области состоит из отрезка ОА оси Ох, отрезка ОВ оси Оу и отрезка АВ. Определим наибольшее и наименьшее значение функции
на каждом из этих трех участков. На отрезке ОА
а
. При
функция
есть функция одной независимой переменной х. Находим наибольшее и наименьшее значение этой функции на отрезке
.
;
– стационарная точка.
.
Вычислим значения функции на концах отрезка ОА, то есть в точках О и А.
.
На отрезке ОВ
и
. При
. Находим наибольшее и наименьшее значение этой функции
;
– стационарная точка.
.
Вычислим значения функции
. Исследуем теперь отрезок АВ. Уравнение прямой АВ:
. Подставив это выражение для у в заданную функцию
или
. Определим наибольшее и наименьшее значение этой функции на отрезке
;
– стационарная точка.
.
Значения функции в точках А и В найдены ранее. Сравнивая полученные результаты, заключаем, что наибольшее значение заданная функция
, а наименьшее значение – в стационарной точке
и
.
