Математика решение задач контрольной работы

Машиностроительное черчение
Выполнение чертежей деталей
Разьемные соединения
Соединение шпилькой, трубное
Эскизирование деталей
Фотодело
Модели цифровых
фотоаппаратов
Трехцветный мир (RGB)
Зеркальные цифровые
фотоаппараты
Софт печати для
цифровой камеры
Обработка фотографий
Получение качественных
фотографий
Обработка изображений
Инстументы обработки
изображений
Использование фильтров
для обработки фото
Работа с обьектами и текстом
Фильтры Adobe Illustrator
Форматы документов,
публикация в Web
Искусство
История искусства
Ренессанс
Проторенессанс
Искусство Китая художники
дикой природы
средневековая философия
Китайские пейзажисты
Информатика
Характеристики и принципы
работы накопителей
Разрешение аппаратных
конфликтов
Электротехника
Задачи курсовой
Математика
Примеры решения задач
контрольной работы
Вычисление площадей
Вычисление длин дуг
Тройные и двойные интегралы
при решении задач
Вычисление объемов с помощью
тройных интегралов
Метод замены переменной
Площадь криволинейной трапеции
Двойные интегралы в полярных
координатах
Геометрические приложения
криволинейных интегралов
Интегрирование по частям

Контрольная работа №2

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Найдите производные функций:

а) ; б) ;  в) .

Решение. а) Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, правила и формулы дифференцирования, имеем:

б)

 

в) В данном случае функциональная зависимость задана в неявном виде. Для нахождения производной  нужно продифференцировать по переменной х обе части уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение разрешить относительно :

Из последнего уравнения находим :

Задача 2. Исследовать функцию  и построить ее график.

Решение. Исследование функции проведем по следующей схеме:

Найдем область определения функции.

Исследуем функцию на непрерывность.

Установим, является ли функция четной, нечетной.

Найдем интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума.

Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.

Найдем асимптоты кривой.

Реализуем указанную схему:

Функция определена при всех значениях аргумента х, кроме .

Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения, т.е. на интервалах  и . В точке  функция терпит разрыв второго рода.

Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость равенств  (тогда   – четная функция) или  (для нечетной функции) для любых х и –х из области определения функции:

.

Следовательно,  и , то есть данная функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную:

.

 при   и  – не существует при . Тем самым имеем две критические точки: . Но точка  не принадлежит области определения функции, экстремума в ней быть не может.

Разобьем числовую ось на три интервала (рис. 5): , .

В первом и третьем интервалах первая производная отрицательна, следовательно, здесь функция убывает; во втором интервале – положительна и данная функция возрастает. При переходе через точку  первая производная меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум: . Значит, – точка минимума.

На рис. 5 знаками +, – указаны интервалы знакопостоянства производной у', а стрелками – возрастание и убыва­ние исследуемой функции.

5. Для определения точек перегиба графика функции и ин­тервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную:

.

 при   и  – не существует при . Разобьем числовую ось на три интервала (рис. 6): , . На первом интервале вторая производная  отрицательна и дуга исследуемой кривой выпукла; на втором и третьем интервалах , тем самым график является вогнутым. При переходе через точку   меняет свой знак, поэтому  – абсцисса точки перегиба.

Следовательно,  – точка перегиба графика функции.

6.  – точка разрыва функции, причем . Поэтому прямая  является вертикальной асимптотой графика. Для определения уравнения наклонной асимптоты  воспользуемся формулами:

.

Тогда

При вычислении последнего предела использовалось правило Лопиталя. Значит прямая  есть горизонтальная асимптота графика исследуемой функции, представленного на рис. 7.

На главную