Математика решение задач контрольной работы

Машиностроительное черчение
Выполнение чертежей деталей
Разьемные соединения
Соединение шпилькой, трубное
Эскизирование деталей
Фотодело
Модели цифровых
фотоаппаратов
Трехцветный мир (RGB)
Зеркальные цифровые
фотоаппараты
Софт печати для
цифровой камеры
Обработка фотографий
Получение качественных
фотографий
Обработка изображений
Инстументы обработки
изображений
Использование фильтров
для обработки фото
Работа с обьектами и текстом
Фильтры Adobe Illustrator
Форматы документов,
публикация в Web
Искусство
История искусства
Ренессанс
Проторенессанс
Искусство Китая художники
дикой природы
средневековая философия
Китайские пейзажисты
Информатика
Характеристики и принципы
работы накопителей
Разрешение аппаратных
конфликтов
Электротехника
Задачи курсовой
Математика
Примеры решения задач
контрольной работы
Вычисление площадей
Вычисление длин дуг
Тройные и двойные интегралы
при решении задач
Вычисление объемов с помощью
тройных интегралов
Метод замены переменной
Площадь криволинейной трапеции
Двойные интегралы в полярных
координатах
Геометрические приложения
криволинейных интегралов
Интегрирование по частям

Определители

1. Определителем 2-го порядка называется число, вычисляемое по формуле , где аij называется элементом определителя; первый индекс i указывает номер строки, а второй индекс j – номер столбца.

2. Определителем 3-го порядка называется число, вычисляемое по формуле (правило треугольников)

  а11 а12 а13

 а21 а22 а23  = а11 а22 а33 + а21 а32 а13 + а12 а23 а31 – а31 а22 а13 – а21 а12 а33 – 

  а31 а32 а33 

 -а32 а23 а11 .

 3. Минором Мij элемента аij определителя  называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания элементов i-ой строки и j-го столбца (на пересечении которых находится элемент аij).

4. Алгебраическим дополнением Аij элемента аij данного определителя называется минор этого элемента, взятый со знаком (–1) i+j, т.е. Аij = (–1) i+j· Мij.

ê= аi1 Аi1+ аi2 Аi2 + …+ аin Аin =  (разложение по элементам i-й строки, i = 1, 2,…, n);

ê= а1j А1 j + а2 j А2 j + …+ аnj Аnj = (разложение по элементам j-го столбца, j= 1,2,..,n).

Свойства определителей

Замена всех строк соответствующими столбцами (транспонирование) не меняет значение определителя.

 В дальнейшем строку или столбец будем называть рядом определителя.

Перестановка двух параллельных рядов меняет знак определителя.

Общий множитель всех элементов какого-нибудь ряда можно выносить за знак определителя.

Если все элементы какого-нибудь ряда равны нулю, то определитель равен нулю.

Определитель с двумя пропорциональными (равными) параллельными рядами равен нулю.

Сумма произведений элементов какого-нибудь ряда на алгебраические дополнения элементов параллельного ряда равна нулю.

Определитель не изменится, если к элементам какого-нибудь ряда прибавить элементы параллельного ряда, предварительно умноженные на одно и то же число.

Матрицы, операции над ними

1. Матрицей размера mxn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.

Числа, составляющие матрицу, будем называть элементами матрицы аij, где i – номер строки, j – номер столбца или, в сокращенной записи, А=(аij); i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n. 

Виды матриц

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой (вектором-строкой), а из одного столбца – матрицей-столбцом (вектором-столбцом):

 А = (а11; а12, …, а1n) – матрица-строка;

 1´ n

 b11

 В = b21 – матрица-столбец

  mx1 …

 bm1

Матрица называется квадратной, если число ее строк равно числу столбцов.

Квадратная матрица А называется невырожденной, если 0.

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее недиагональные элементы равны нулю.

Диагональная матрица называется единичной, если все диагональные элементы равны единице, и обозначается Е.

Матрица любого размера называется нулевой, или нуль-матрицей, если все ее элементы равны нулю, и обозначается (0).

Матрица А называется треугольной (ступенчатой, если mn), если ниже ее главной диагонали все элементы равны нулю.

Операции над матрицами

1. Произведением матрицы А на число l называется матрица В, все элементы которой умножаются на l, т.е.

 

где i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n.

2. Суммой двух матриц А и В одинакового размера mxn называется матрица С, элементы которой cij = аij+ bij, т.е.

где i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n;

причем А+В = В+А; (А+В)+С = А+(В+С); l(А+В) = lА+lВ.

3.Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: А – В = А + (–1)·В

4.Произведением матрицы А размера (mxk) на матрицу В размера (kxn) называется матрица С размера (mxn), элемент которой

 сij = аisbsj , для i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n; т.е.


 Свойства умножения матриц

А·ВВ·А – (в общем случае)

(А·В)·С = А·(В·С) – сочетательный закон.

l(А·В) = (lА) В = А·(lВ)

А·(В+С) = А·В + А·С

где Е – единичная матрица того же размера, что и матрица А.

6) Если С = А·В, то С = А· В , где А и В квадратные матрицы.

 5. Целой положительной степенью Аm (m>1) квадратной матрицы А называется произведение m матриц, равных А, т.е. Аm = А·А·…·А

 

 m раз

 6. Транспонирование матрицы – переход от матрицы А к матрице АТ, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица АТ называется транспонированной относительно матрицы А.

 Матрица А -1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица, т.е.


Векторы на плоскости и в пространстве.

  Линейные операции над векторами

 1. Вектором называется направленный отрезок прямой и обозначается  или , где А – начальная, а В – конечная точки.

 2. Длиной (или модулем)  (или ) вектора  называется число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор.

Виды векторов

Определение

Обозначение

Нулевой

, если А = В

Коллинеарные

Векторы, параллельные одной прямой

||

Одинаково направленные

 и  коллинеарные и имеют одно и то же направление

Противоположно направленные

и  коллинеарны и направлены в противоположные стороны

Компланарные

Векторы , , , параллельные одной плоскости (или лежащие в одной плоскости)

||П (П)

||П (П)

||П (П)

Единичный вектор-орт

Вектор длины, равной 1

,

  = 1, = 1

Равные

Два вектора называются равными, если они совмещаются параллель-ным переносом

Свободный

Вектор, заданный в пространстве  с точностью до параллельного переноса

 

Линейные операции над векторами

 1. Произведением вектора   на число l называется вектор  = l·, имеющий длину  l · , сонаправленный с , если l > 0, и противоположно направленный век-тору , если l < 0.

 Противоположный вектор –  = (–1)·.

 2. Суммой двух векторов  и  называется вектор, идущий из начала вектора  в конец вектора , при условии, что начало  совмещено с концом  (правило треугольника).

Построив на векторах и , выходящих из одной точки, параллелограмм, видим, что вектор  =  +  совпадает с диагональю параллелограмма (правило параллелограмма).

  Суммой n векторов  называется вектор , идущий из начала  в конец при условии, что начало последующего вектора совпадает с концом предыдущего (правило многоугольника).

    =

  

 

 

   

 Если три вектора  не лежат в одной плоскости, то  =  представляет диагональ параллелепипеда, построенного на векторах .

Разностью двух векторов  и  называется сумма векторов  и (–), противоположного вектору , т.е. = + (–).

 Легко убедиться в том, что в параллелограмме, построенном на векторах = и

=, одна диагональ – вектор ==+, а другая диагональ – вектор ==. D С

    

 А В

 

+ = (а1 + b1; а2 + b2);

= (а1 – b1; а2 – b2);

l ×  = (lа1, lа2).

Скалярное произведение векторов

 
1. Скалярным произведением двух векторов  и  называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла j между ними.

  Свойства:

 (переместительный закон)

 распределительный

 

 
 закон

  4) 

 

Выражение скалярного произведения через координаты

перемножаемых векторов

 
 Пусть даны векторы

 

Вопросы и задачи для зачета

По контрольной работе №1

Вопросы.

Как выглядит 1) общее уравнение прямой; 2) уравнение прямой с угловым коэффициентом; уравнение прямой, проходящей через данную точку; 4) уравнение прямой, проходящей через две точки?

Как находится угол между прямыми, как записываются условия параллельности и перпендикулярности прямых?

Как записываются канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы; каков смысл параметров  и  как изменяется эксцентриситет  для каждого вида кривой второго порядка?

Что такое вектор, как находятся его координаты и длина, если даны координаты начала и конца?

Как определяется скалярное произведение векторов и как оно записывается через координаты перемножаемых векторов; как записывается условие параллельности и перпендикулярности векторов?

Что называется матрицей; какая матрица называется обратной по отношению к данной матрице; что называется рангом матрицы?

Как формулируется теорема Кронекера-Капелли; как записываются формулы Крамера решения невырожденной системы линейных уравнений?

Что называется пределом числовой последовательности; пределом функции? Какая функция называется непрерывной в точке, на интервале?

Для сдачи зачета надо уметь решать следующие задачи:

Для прямой  найти угловой коэффициент и построить ее график.

Найти уравнение прямой, проходящей через точку  а) перпендикулярно, б) параллельно прямой .

Найти уравнение прямой, проходящей через две точки  и .

Построить эллипс  и найти координаты фокусов.

Для гиперболы  найти эксцентриситет .

Построить параболу  и найти координаты ее фокуса.

Построить параболу  и найти координаты ее фокуса.

Найти длину вектора , если  и .

Найти угол между векторами  и .

При каком значении т векторы  и  перпендикулярны?

Вычислить определитель .

Найти   для элемента  матрицы .

Решить систему уравнений методом Гаусса

14.Найти: а) ,

б) ,

 в) .

На главную