Математика решение задач контрольной работы

Машиностроительное черчение
Выполнение чертежей деталей
Разьемные соединения
Соединение шпилькой, трубное
Эскизирование деталей
Фотодело
Модели цифровых
фотоаппаратов
Трехцветный мир (RGB)
Зеркальные цифровые
фотоаппараты
Софт печати для
цифровой камеры
Обработка фотографий
Получение качественных
фотографий
Обработка изображений
Инстументы обработки
изображений
Использование фильтров
для обработки фото
Работа с обьектами и текстом
Фильтры Adobe Illustrator
Форматы документов,
публикация в Web
Искусство
История искусства
Ренессанс
Проторенессанс
Искусство Китая художники
дикой природы
средневековая философия
Китайские пейзажисты
Информатика
Характеристики и принципы
работы накопителей
Разрешение аппаратных
конфликтов
Электротехника
Задачи курсовой
Математика
Примеры решения задач
контрольной работы
Вычисление площадей
Вычисление длин дуг
Тройные и двойные интегралы
при решении задач
Вычисление объемов с помощью
тройных интегралов
Метод замены переменной
Площадь криволинейной трапеции
Двойные интегралы в полярных
координатах
Геометрические приложения
криволинейных интегралов
Интегрирование по частям

Вычисление объемов тел вращения

Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси  криволинейной трапеции , ограниченной кривой , осью  и прямыми  В этом случае любое сечение полученного тела плоскостью, перпендикулярной оси , есть круг радиуса , площадь которого равна .

Составим интегральную сумму. Разобьем отрезок  произвольно на  частей. Возьмем частичный отрезок , выберем на нем произвольную точку . В точках  и  восстановим перпендикуляры и построим элементарный прямоугольник высотою  с основанием . В результате вращения этого прямоугольника вокруг оси  получится элементарное цилиндрическое тело, радиус которого , а высота . Объем такого цилиндрического тела равен , а сумма всех элементарных цилиндрических тел дает интегральную сумму

Последовательность интегральных сумм  для непрерывной на отрезке  функции при  и  имеет предел. Его и называют объемом тела вращения вокруг координатной оси , то есть

, короче   (2.8.)

Аналогично, объем тела вращения вокруг оси  следует вычислить по формуле  или (2.9.)

Замечание. Если вокруг оси  вращается фигура, ограниченная двумя кривыми  и , причем < на отрезке , то

 (2.10.)

Аналогично для фигуры, вращающейся вокруг оси

 (2.11.)

Пример 2.20. Найти объем тора, образованного вращением круга   вокруг оси . Предполагается, что .

Решение. Круг  радиуса  с центром в точке с координатами  будем рассматривать как фигуру, ограниченную дугами двух полуокружностей: верхней (дуга ADB) и нижней (дуга AFB).

По формуле (2.11) получим

Употреблена подстановка  Новые пределы интегрирования  такие:  при  при  .

Пример 2.21. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной.

, ,.

2.10. Формулы длин дуг плоских кривых

Длина   кривой, заданной уравнением ,  вычисляется по формуле:

Длина   кривой заданной параметрическими уравнениями 

, вычисляется по формуле:

Длина   кривой заданной в полярных координатах уравнением

вычисляется по формуле: .

Пример 2.22. Найти длину дуги кривой  от  до .

Решение. Кривая симметрична относительно оси Ox. Найдем длину верхней ветви кривой. Из уравнения  находим . По формуле вычисления длины дуги получим

2.11. Приближенное вычисление определенных интегралов

Мы уже знаем, что первообразные некоторых функций не могут быть выражены в конечном виде через элементарные функции. Вычисление определенных интегралов от таких функций становится возможным только с помощью приближенных методов. Приближенные методы целесообразно применять и в случаях интегрируемости функции в конечном виде, когда отыскание первообразной требует сложных выкладок.

Формулы приближенного вычисления определенного интеграла связаны с геометрическим решением задачи о нахождении площади криволинейной трапеции.

Пусть требуется найти приближенное значение определенного интеграла . Рассмотрим площадь криволинейной трапеции  как геометрическое выражение заданного интеграла, будем искать способы приближенного вычисления этой площади.

Разделим отрезок  и на  равных частей точками . Расстояние между каждой парой соседних точек 

Из точек деления отрезка  восстановим перпендикуляры к оси  до пересечения с графиком функции . Это будут ординаты соответствующих точек деления:

Площадь криволинейной трапеции  можно рассматривать как сумму площадей  частичных криволинейных трапеций, на которые разделена фигура: .

Пример 2.23. Вычислить приближенное значение интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 равных частей. Все вычисления производим с округленным до третьего десятичного знака числами.

, где ,,

 формула Симпсона для

, где ;

 

.

На главную