Математика решение задач контрольной работы

Машиностроительное черчение
Выполнение чертежей деталей
Разьемные соединения
Соединение шпилькой, трубное
Эскизирование деталей
Фотодело
Модели цифровых
фотоаппаратов
Трехцветный мир (RGB)
Зеркальные цифровые
фотоаппараты
Софт печати для
цифровой камеры
Обработка фотографий
Получение качественных
фотографий
Обработка изображений
Инстументы обработки
изображений
Использование фильтров
для обработки фото
Работа с обьектами и текстом
Фильтры Adobe Illustrator
Форматы документов,
публикация в Web
Искусство
История искусства
Ренессанс
Проторенессанс
Искусство Китая художники
дикой природы
средневековая философия
Китайские пейзажисты
Информатика
Характеристики и принципы
работы накопителей
Разрешение аппаратных
конфликтов
Электротехника
Задачи курсовой
Математика
Примеры решения задач
контрольной работы
Вычисление площадей
Вычисление длин дуг
Тройные и двойные интегралы
при решении задач
Вычисление объемов с помощью
тройных интегралов
Метод замены переменной
Площадь криволинейной трапеции
Двойные интегралы в полярных
координатах
Геометрические приложения
криволинейных интегралов
Интегрирование по частям

Вычисление площадей

Если функция  на отрезке , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью   и прямыми  равна  (2.7)

Если функция  на , то площадь вычисляется по формуле (2.7) от абсолютной величины подынтегральной функции.

Если надо вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми   и , при условии, что , то искомую площадь найдем как разность площадей двух криволинейных трапеций. Получим

Для нахождения пределов интегрирования надо найти абсциссы точек А и В пересечения кривых, решив уравнение .

Площадь криволинейной трапеции, верхняя граница которой задана параметрическими уравнениями , вычисляется по формуле: .

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением  и двумя полярными радиусами, составляющими с полярной осью углы  и  , вычисляется по формуле: .

Пример 2.15. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой  и осью .

Решение. Так как функция  четная, то кривая (парабола) симметрична относительно оси  и ветви ее направлены вниз.

Парабола и ось , уравнение которой , пересекается и тогда , откуда .

Площадь всей фигуры, ввиду ее симметрии относительно оси ,

 (кв. ед).

Пример 2.16. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ,

Решение. Для определения пределов интегрирования сделаем рисунок, из которого видно, что площадь проще вычислить по переменной , так как вдоль оси  площади искомой фигуры образуют разности площадей криволинейных трапеций. Для определения ординат точек пересечения решим два уравнения:

Из  следует   или , его корни

Из  и   или  его корни

Примеры 2.17. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми , , ,  

 

Пример 2.18. а) Вычислить площадь, ограниченную линиями

.

Решение. Искомую площадь криволинейной трапеции найдем по формуле: .

б) Вычислить площадь, ограниченную линиями  и .

Решение. Решая систему уравнений  и , найдем координаты точек пересечения параболы и прямой: .

Искомая площадь равна разности площадей

двух криволинейных трапеций:

Пример 2.19. Вычислить площадь, ограниченную линиями  и .

Решение. Решая систему уравнений  и , найдем координаты точек пересечения параболы и прямой: .

Искомая площадь равна разности площадей двух криволинейных трапеций:

Задания для самостоятельного решения

Найдите площади фигур, ограниченных указанными линиями:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5.

На главную