Математика решение задач контрольной работы

Машиностроительное черчение
Выполнение чертежей деталей
Разьемные соединения
Соединение шпилькой, трубное
Эскизирование деталей
Фотодело
Модели цифровых
фотоаппаратов
Трехцветный мир (RGB)
Зеркальные цифровые
фотоаппараты
Софт печати для
цифровой камеры
Обработка фотографий
Получение качественных
фотографий
Обработка изображений
Инстументы обработки
изображений
Использование фильтров
для обработки фото
Работа с обьектами и текстом
Фильтры Adobe Illustrator
Форматы документов,
публикация в Web
Искусство
История искусства
Ренессанс
Проторенессанс
Искусство Китая художники
дикой природы
средневековая философия
Китайские пейзажисты
Информатика
Характеристики и принципы
работы накопителей
Разрешение аппаратных
конфликтов
Электротехника
Задачи курсовой
Математика
Примеры решения задач
контрольной работы
Вычисление площадей
Вычисление длин дуг
Тройные и двойные интегралы
при решении задач
Вычисление объемов с помощью
тройных интегралов
Метод замены переменной
Площадь криволинейной трапеции
Двойные интегралы в полярных
координатах
Геометрические приложения
криволинейных интегралов
Интегрирование по частям

Интегрирование по частям

Известно, что дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен . Проинтегрируем обе части этого тождества почленно в  пределах от  до . Получим:

 или   или, окончательно, (2.6.)

Формула (2.6.) и указывает, каким образом вычисляется определенный интеграл при интегрировании по частям.

Пример 2.6. Вычислить .

Пусть     

Запишем интеграл по формуле (2.6)

Пример 2.7. Вычислить .

Примем    . Тогда

Примеры для самостоятельного решения

Вычислить определенные интегралы:

1.; 2. ;

3. ; 4. ;

5.; 6. .


2.7. Несобственные интегралы

. Несобственные интегралы первого рода с бесконечными пределами определяются как интегралы вида:

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, если же предел не существует, то интеграл называется расходящимся.

 Если непрерывна для всех значений отрезка , кроме точки с, в которой  имеет разрыв второго рода, то несобственным интегралом второго рода от неограниченной функции называется интеграл вида:

 

Признак сравнения. Если функциии непрерывны на промежутке  и удовлетворяют на этом промежутке условию , то из сходимости интеграла  следует сходимость интеграла , и из расходимости интеграла   следует расходимость интеграла .

Пример 2.8. Сходится ли интеграл

Решение. . Интеграл сходится.

Пример 2.9. Исследовать сходимость .

Решение. Сравним подынтегральную функцию с функцией на . Очевидно, что  .

Но интеграл  сходится, так как (см. пример 1) Следовательно, согласно признаку сравнения, сходится и данный ряд.

Пример 2.10. Исследовать сходимость интеграла , где - некоторое число.

Решение. 1) Если, то для любого  

2) Если, то для любого

.

Итак, данный интеграл при  сходится, при  расходится и при  расходится.

Пример 2.11. Сходится ли интеграл

Решение. Представим его как сумму

Интеграл сходится.

Пример 2.12. Сходится ли интеграл

Решение. 

Интеграл сходится.

Пример 2.13. - интеграл расходится.

Пример 2.14. - интеграл также расходится. Здесь функция при  терпит бесконечный разрыв.

Задачи для самостоятельного решения

Исследовать сходимость интегралов

1) , 2) 3)

4), 5) ,  6) .

На главную