Основные методы интегрирования
Процесс интегрирования состоит в умении провести интеграл от данной функции к одному или нескольким табличным интегралам с использованием математических преобразований и свойств неопределенного интеграла.
Непосредственное интегрирование
Метод заключается в применении различных преобразований подынтегральной функции с целью приведения ее к табличным интегралам. Здесь нет специальной теории. Необходимо знать свойства неопределенных интегралов, элементарные преобразования алгебраических или тригонометрических функций и табличные интегралы. Навыки интегрирования, называемые техникой интегрирования, напрямую зависят от количества выполняемых уравнений. Поэтому перейдем к практике интегрирования.
Пример 1.2. Найти неопределенные интегралы:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Метод замены переменной (подстановка)
Метод базируется на применении формулы, связанной со сложной функцией
(1.3)
где
дифференцируемая функция и
. Чтобы установить справедливость формулы, достаточно показать, что дифференциалы ее левой и правой частей по
совпадают. Воспользуемся свойством 2 неопределенного интеграла. Дифференциал левой части
Дифференциал правой части
Они одинаковы. Тем самым справедливость формулы доказана.
При практическом интегрировании в некоторых случаях удобнее вводить новую переменную при помощи замен, а в некоторых при помощи
Существует много различных подстановок, выбор которых зависит от вида подынтегральной функции или проведенных практикой и обоснованных приемов. Таковы, например, универсальная тригонометрическая подстановка, три подстановки Эйлера, подстановка Чебышева и другие.
Пример 1.3. Найти
Введем подстановку
и найдем дифференциалы ее левой и правой частей
. Тогда данный интеграл примет вид
.
Пример 1.4. Найти
. Введем подстановку
чтобы избавиться от знака корня. Тогда
Интеграл примет вид
где
, что следует из подстановки.
С помощью метода замены переменной можно получить новые важные формулы интегрирования. Покажем, что если F(x) есть первообразная функции f(x), то замена аргумента x на линейный двучлен ax+b приводит к интегралу
(1.4)
Действительно, подстановка ax+b=dt или dx=
дает интеграл
Если в формуле (1.4) b=0, то
Пример 1.5. 1)
; 2)
;
3)
; 4)
; 5)
.
Запишем правило: Если подынтегральная функция есть дробь, числитель которой равен дифференциалу знаменателя, то интеграл такой дроби равен натуральному логарифму знаменателя.
Найти
Пусть
Пример 1.6. 1)
;
2)
;
3)
здесь
4)
здесь
5).
- подстановка (замена переменной интегрирования)
- здесь мы продифференцировали первое равенство
Проверка:
- подынтегральная функция.
6)
;
,
Проверка:
- подынтегральная функция.
7)
.
.
8)
