Основные методы интегрирования
Процесс интегрирования состоит в умении провести интеграл от данной
функции к одному или нескольким табличным интегралам с использованием
математических преобразований и свойств неопределенного интеграла.
Непосредственное интегрирование
Метод заключается в применении различных преобразований подынтегральной
функции с целью приведения ее к табличным интегралам. Здесь нет специальной
теории. Необходимо знать свойства неопределенных интегралов, элементарные
преобразования алгебраических или тригонометрических функций и табличные
интегралы. Навыки интегрирования, называемые техникой интегрирования,
напрямую зависят от количества выполняемых уравнений. Поэтому перейдем
к практике интегрирования.
Пример 1.2. Найти неопределенные интегралы:
1)
2)
3)
4)
5) 
6)
7) 
8) 
Метод замены переменной (подстановка)
Метод базируется на применении формулы, связанной со сложной функцией
(1.3)
где
дифференцируемая
функция и
. Чтобы установить
справедливость формулы, достаточно показать, что дифференциалы ее левой
и правой частей по
совпадают.
Воспользуемся свойством 2 неопределенного интеграла. Дифференциал левой
части
Дифференциал правой части
Они одинаковы. Тем самым справедливость формулы доказана.
При практическом интегрировании в некоторых случаях удобнее вводить
новую переменную при помощи замен, а в некоторых при помощи
. Эти замены переменной будем называть
подстановками.
Существует много различных подстановок, выбор которых зависит от вида
подынтегральной функции или проведенных практикой и обоснованных приемов.
Таковы, например, универсальная тригонометрическая подстановка, три
подстановки Эйлера, подстановка Чебышева и другие.
Пример 1.3. Найти
Введем подстановку
и найдем дифференциалы ее левой и правой частей
.
Тогда данный интеграл примет вид
.
Пример 1.4. Найти
. Введем подстановку
чтобы избавиться от знака корня. Тогда
Интеграл примет вид

где
, что следует
из подстановки.
С помощью метода замены переменной можно получить новые важные формулы
интегрирования. Покажем, что если F(x) есть первообразная функции f(x),
то замена аргумента x на линейный двучлен ax+b приводит к интегралу
(1.4)
Действительно, подстановка ax+b=dt или dx=
дает интеграл 
Если в формуле (1.4) b=0, то
Пример 1.5. 1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
.
Запишем правило: Если подынтегральная функция есть дробь, числитель
которой равен дифференциалу знаменателя, то интеграл такой дроби равен
натуральному логарифму знаменателя.
Найти
Пусть
Пример 1.6. 1)
;
2)
;
3)
здесь 
4)
здесь 
5). 
- подстановка (замена
переменной интегрирования)
- здесь мы продифференцировали
первое равенство
Проверка:
- подынтегральная функция.
6)
;
, 

Проверка:
- подынтегральная функция.
7)
.
.
8) 