Математика решение задач контрольной работы

Машиностроительное черчение
Выполнение чертежей деталей
Разьемные соединения
Соединение шпилькой, трубное
Эскизирование деталей
Фотодело
Модели цифровых
фотоаппаратов
Трехцветный мир (RGB)
Зеркальные цифровые
фотоаппараты
Софт печати для
цифровой камеры
Обработка фотографий
Получение качественных
фотографий
Обработка изображений
Инстументы обработки
изображений
Использование фильтров
для обработки фото
Работа с обьектами и текстом
Фильтры Adobe Illustrator
Форматы документов,
публикация в Web
Искусство
История искусства
Ренессанс
Проторенессанс
Искусство Китая художники
дикой природы
средневековая философия
Китайские пейзажисты
Информатика
Характеристики и принципы
работы накопителей
Разрешение аппаратных
конфликтов
Электротехника
Задачи курсовой
Математика
Примеры решения задач
контрольной работы
Вычисление площадей
Вычисление длин дуг
Тройные и двойные интегралы
при решении задач
Вычисление объемов с помощью
тройных интегралов
Метод замены переменной
Площадь криволинейной трапеции
Двойные интегралы в полярных
координатах
Геометрические приложения
криволинейных интегралов
Интегрирование по частям

Основные методы интегрирования

Процесс интегрирования состоит в умении провести интеграл от данной функции к одному или нескольким табличным интегралам с использованием математических преобразований и свойств неопределенного интеграла.

Непосредственное интегрирование

Метод заключается в применении различных преобразований подынтегральной функции с целью приведения ее к табличным интегралам. Здесь нет специальной теории. Необходимо знать свойства неопределенных интегралов, элементарные преобразования алгебраических или тригонометрических функций и табличные интегралы. Навыки интегрирования, называемые техникой интегрирования, напрямую зависят от количества выполняемых уравнений. Поэтому перейдем к практике интегрирования.

Пример 1.2. Найти неопределенные интегралы:

1)  2) 3)  

4)

5)

6)

7)

8)

Метод замены переменной (подстановка)

Метод базируется на применении формулы, связанной со сложной функцией

(1.3)

где  дифференцируемая функция и . Чтобы установить справедливость формулы, достаточно показать, что дифференциалы ее левой и правой частей по  совпадают. Воспользуемся свойством 2 неопределенного интеграла. Дифференциал левой части  Дифференциал правой части   Они одинаковы. Тем самым справедливость формулы доказана.

При практическом интегрировании в некоторых случаях удобнее вводить новую переменную при помощи замен, а в некоторых при помощи . Эти замены переменной будем называть подстановками.

Существует много различных подстановок, выбор которых зависит от вида подынтегральной функции или проведенных практикой и обоснованных приемов. Таковы, например, универсальная тригонометрическая подстановка, три подстановки Эйлера, подстановка Чебышева и другие.

Пример 1.3. Найти  Введем подстановку и найдем дифференциалы ее левой и правой частей . Тогда данный интеграл примет вид .

Пример 1.4. Найти . Введем подстановку чтобы избавиться от знака корня. Тогда  Интеграл примет вид

где , что следует из подстановки.

С помощью метода замены переменной можно получить новые важные формулы интегрирования. Покажем, что если F(x) есть первообразная функции f(x), то замена аргумента x на линейный двучлен ax+b приводит к интегралу  (1.4)

Действительно, подстановка ax+b=dt или dx= дает интеграл

Если в формуле (1.4) b=0, то  

Пример 1.5. 1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) .

Запишем правило: Если подынтегральная функция есть дробь, числитель которой равен дифференциалу знаменателя, то интеграл такой дроби равен натуральному логарифму знаменателя.

Найти  Пусть

Пример 1.6. 1) ;

2) ;

3)  здесь

4)  здесь

5).

- подстановка (замена переменной интегрирования)

- здесь мы продифференцировали первое равенство

 

 

Проверка: - подынтегральная функция.

6)  ; ,

Проверка:  - подынтегральная функция.

7) .

.

8)

На главную