Математика решение задач контрольной работы

Машиностроительное черчение
Выполнение чертежей деталей
Разьемные соединения
Соединение шпилькой, трубное
Эскизирование деталей
Фотодело
Модели цифровых
фотоаппаратов
Трехцветный мир (RGB)
Зеркальные цифровые
фотоаппараты
Софт печати для
цифровой камеры
Обработка фотографий
Получение качественных
фотографий
Обработка изображений
Инстументы обработки
изображений
Использование фильтров
для обработки фото
Работа с обьектами и текстом
Фильтры Adobe Illustrator
Форматы документов,
публикация в Web
Искусство
История искусства
Ренессанс
Проторенессанс
Искусство Китая художники
дикой природы
средневековая философия
Китайские пейзажисты
Информатика
Характеристики и принципы
работы накопителей
Разрешение аппаратных
конфликтов
Электротехника
Задачи курсовой
Математика
Примеры решения задач
контрольной работы
Вычисление площадей
Вычисление длин дуг
Тройные и двойные интегралы
при решении задач
Вычисление объемов с помощью
тройных интегралов
Метод замены переменной
Площадь криволинейной трапеции
Двойные интегралы в полярных
координатах
Геометрические приложения
криволинейных интегралов
Интегрирование по частям

Исследование функций и построение графиков

Цель занятия: Научиться исследовать функции с помощью производной.

Вопросы

Возрастание и убывание функции.

Экстремумы функции. Условия экстремума функции.

Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

Построение графиков функций.

Решение типовых задач

Исследовать функцию  и построить ее график.

Решение.

Область определения функции: .

Функция не является ни четной, ни нечетной.

Точки пересечения с осями координат. Пусть , тогда  График пересекает ось Ох в точках  и .

Найдем интервалы возрастания и убывания и экстремумы функции.

Найдем * при  и .

Выясним знак  в окрестности критических точек.

При переходе через точку  производная  меняет знак с минуса на плюс, следовательно,  - точка минимума функции.

.

Функция убывает на интервале на  и возрастает на интервале .

Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции и точки перегиба.

Найдем производную второго порядка ; , .

Исследуем знак  в окрестности точек  и .

 


В интервале  кривая вогнута, в интервале  кривая выпуклая, в интервале  кривая вогнута.

Итак, при переходе через точки  и  вторая производная меняет знак. Следовательно, кривая имеет две точки перегиба:  и . Найдем ординаты точек перегиба ; .

Построим график функции

 


Задания для самостоятельного решения

Найдите производные и дифференциалы указанных функций:

1. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. .

Найдите значение производной функции  в заданной точке :

, .

Найдите производные второго порядка функций:

а) ; б) .

Определите точки экстремума функций:

1) ; 2) .

Исследуйте функцию и постройте ее график

.

Типовой расчёт по теме «Предел и производная»

Задача 1. Вычислить

1

6

2

7

3

8

4

9

5

10

Задача 2. Вычислить , используя второй замечательный предел.

1

6

2

0

7

3

0

8

0

4

9

5

0

10

0

Задача 3. Вычислить  с помощью замены бесконечно малых на эквивалентные.

1

6

2

7

3

8

4

9

5

10


Задача 4. Найти точки разрыва функции .

Определить характер разрывов.

а

b

с

k

а

b

с

k

1

10

1

4

6

6

17

-1

5

8

2

11

1

3

2

7

15

-2

3

3

3

21

-2

5

2

8

9

1

2

5

4

11

1

4

5

9

17

2

3

4

5

19

-1

5

6

10

12

-1

2

8

Задача 5. Найти производную функцию

1

6

2

7

3

8

4

9

5

10

Задача 6. Найти производную  функции, заданной параметрически: .

1

6

2

7

3

8

4

9

5

10

Задача 7. Найти производную  неявной функции, заданной уравнением

1

6

2

7

3

8

4

9

5

10

Задача 8. Вычислить с помощью дифференциала приближенное значение числа .

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


Задача 9. Определить, в каких точках заданной линии L касательная к этой линии параллельна прямой , и написать уравнение этой касательной.

Уравнение линии

Уравнение линии

1

3

6

-2

2

2

7

3

-1

8

4

-1

9

5

-1

10

3

Задача 10. Исследовать функцию  и построить график

На главную