Математика решение задач контрольной работы

Машиностроительное черчение
Выполнение чертежей деталей
Разьемные соединения
Соединение шпилькой, трубное
Эскизирование деталей
Фотодело
Модели цифровых
фотоаппаратов
Трехцветный мир (RGB)
Зеркальные цифровые
фотоаппараты
Софт печати для
цифровой камеры
Обработка фотографий
Получение качественных
фотографий
Обработка изображений
Инстументы обработки
изображений
Использование фильтров
для обработки фото
Работа с обьектами и текстом
Фильтры Adobe Illustrator
Форматы документов,
публикация в Web
Искусство
История искусства
Ренессанс
Проторенессанс
Искусство Китая художники
дикой природы
средневековая философия
Китайские пейзажисты
Информатика
Характеристики и принципы
работы накопителей
Разрешение аппаратных
конфликтов
Электротехника
Задачи курсовой
Математика
Примеры решения задач
контрольной работы
Вычисление площадей
Вычисление длин дуг
Тройные и двойные интегралы
при решении задач
Вычисление объемов с помощью
тройных интегралов
Метод замены переменной
Площадь криволинейной трапеции
Двойные интегралы в полярных
координатах
Геометрические приложения
криволинейных интегралов
Интегрирование по частям

Применение производной к исследованию функций.

Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Фрмула Тейлора

*Теорема Ролля. Если функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема в интервале  и  то в интервале  найдётся хотя бы одно значение , при котором

* Теорема Лагранжа (о конечном приращении). Если функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема в интервале , то в этом интервале найдётся хотя бы одно значение , при котором выполняется равенство  (геометрический смысл: касательная в точке  параллельна секущей АВ).

*Теорема Коши. Если функции  и  непрерывны на отрезке  и дифференцируемы в интервале , причём  то в этом интервале найдётся хотя бы одно значение , при котором   где .

Формула Тейлора. Если функция  имеет в точке все производные до порядка   включительно, то

Это соотношение называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

При = 0 получаем частный случай формулы Тейлора-формулу Маклорена

Приведем разложение некоторых функций по формуле Маклорена:

,

,

Пример 1. Выполняется ли теорема Ролля для функции  если а=-3; в=3. Найти значение .

Решение. Так как функция  непрерывна и дифференцируема при всех значениях х и её значения на концах отрезка  равны  Следовательно, условия теоремы Ролля на этом отрезке выполняются. Значение  определяем из уравнения , т.е..

Пример 2. На дуге АВ кривой  найти точку М, в которой касательная параллельна хорде АВ, если А(1,3) и В(3,3).

Решение. Функция  непрерывна и дифференцируема при всех значениях х. По теореме Лагранжа между двумя значениями а=1 и в=3 существует значение х=, удовлетворяющее равенству:  где

Подставив соответствующие значения, получим

Отсюда . Таким образом, точка М имеет координаты М(2;4).

Пример 3. Проверить теорему Коши для функции =х3 и  и найти с.

Решение. Из формулы Коши имеем , т.е. . Отсюда, получим .

Пример 4.Разложить функцию по формуле Тейлора в окрестности точки .

Решение. Представим, данную функцию в виде

.

Далее воспользуемся формулой .

Будем иметь

Пример 5. Вычислить предел, используя разложение по формуле Тейлора .

Решение. Так как

 и то получим

Контрольные вопросы.

1. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.

2.Формула Тейлора. Формула Маклорена.

3.Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.


Задания.

1. Применима ли теорема Ролля к функции  на отрезке . Пояснить графически.

2. Проверить теорему Лагранжа и найти с для функций:

а)  на отрезке

б)  на отрезке

3.Проверить теорему Коши и найти с для функций:

а)  и   на отрезке

б) х2 и  на отрезке .

4. Разложить функцию по формуле Тейлора в окрестности точки .

5. Найти пределы, используя разложение по формуле Тейлора

а) ,

б) .

На главную