Математика решение задач контрольной работы

Машиностроительное черчение
Выполнение чертежей деталей
Разьемные соединения
Соединение шпилькой, трубное
Эскизирование деталей
Фотодело
Модели цифровых
фотоаппаратов
Трехцветный мир (RGB)
Зеркальные цифровые
фотоаппараты
Софт печати для
цифровой камеры
Обработка фотографий
Получение качественных
фотографий
Обработка изображений
Инстументы обработки
изображений
Использование фильтров
для обработки фото
Работа с обьектами и текстом
Фильтры Adobe Illustrator
Форматы документов,
публикация в Web
Искусство
История искусства
Ренессанс
Проторенессанс
Искусство Китая художники
дикой природы
средневековая философия
Китайские пейзажисты
Информатика
Характеристики и принципы
работы накопителей
Разрешение аппаратных
конфликтов
Электротехника
Задачи курсовой
Математика
Примеры решения задач
контрольной работы
Вычисление площадей
Вычисление длин дуг
Тройные и двойные интегралы
при решении задач
Вычисление объемов с помощью
тройных интегралов
Метод замены переменной
Площадь криволинейной трапеции
Двойные интегралы в полярных
координатах
Геометрические приложения
криволинейных интегралов
Интегрирование по частям

ФОРМУЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ в полярной системе координат.

Если функция  непрерывна на отрезке , то площадь области  вычисляется по формуле : .

ДОК. Пусть  - разбиение отрезка . Пусть и

 . Тогда объемлющей фигурой для  является элементарная область, ограниченная кусочно-постоянной функцией и лучами

 и , имеющая площадь  . Объемлемой фигурой для  является элементарная область   ограниченная кусочно-постоянной функцией и лучами  и , имеющая площадь  . Числа  и  являются интегральными суммами функции  на отрезке  (верхняя и нижняя интегральные суммы Дарбу, см. Пример 1). Если

разбиение , то сумма  убывает,  возрастает.

 Если функция  интегрируема на отрезке , то

 .

ПРИМЕР 2. Найти площадь одного лепестка кривой  ( m – лепестковая роза).

РЕШЕНИЕ. . .

П.2 ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ.

ОПР. Дуга кривой  разбивается точками ,  на n сегментов, концы которых

соединены отрезками .,образующими ломанную линию . Ее длина  зависит от дуги кривой и разбиения кривой  точками , . Длиной кривой  называют число, равное , если оно существует.

Рассмотрим дугу графика функции  на отрезке . Каждому разбиению  отрезка соответствует ломаная, состоящая из объединения отрезков с началом в точках и концом в точке, .

Длина  ломанной равна , где  и  Если функция имеет непрерывную производную на отрезке , то по теореме Лагранжа существует набор точек , для которых . Тогда длина ломанной   является интегральной суммой непрерывной функции   и поэтому

 =.

ФОРМУЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛИНЫ ДУГИ, заданной параметрически.

Если дуга кривой задана параметрическими уравнениями , , в которых функции имеют непрерывные производные, то

 .

Для ее доказательства заметим, что разбиение  порождает разбиение дуги кривой точками и длину   ломанной , где и .По теореме о среднем для производной существует набор  и точек на отрезках , для которых  и . Тогда длина ломаной равна

 .

Полученное выражение по форме отличается от интегральной суммы функции , поскольку наборы  и ,вообще говоря , различные.

Если  интегральная сумма функции   на отрезке соответствующая разбиению ,то . Для любого

. Вторая часть оценки использует « неравенство треугольника»

 

 .

 В предположении непрерывности производных  и колебания и - бесконечно малые функции в точке , поэтому существует такое , что  для любых . Тогда для разбиений

 .

ФОРМУЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛИНЫ ДУГИ, заданной в полярной системе.

Если , - уравнение кривой в полярной системе координат, то

 . Тогда   и .

Вычислим  и получим искомую формулу

 .

ПРИМЕР 3. (длина цепной линии)

Вычислить длину дуги, заданной уравнением .

РЕШЕНИЕ. .

УПРАЖНЕНИЕ. Область ограничена графиком непрерывно дифференцируемой функции

 и прямой , проходящей через точки и

(сегмент криволинейной трапеции ). Доказать, что ее площадь .

РЕШЕНИЕ. , где . Тогда

, где - функция колебания для производной на отрезке . Из предположения о непрерывности следует, что .

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1. Доказательство формулы для вычисления площади криволинейной трапеции.

2. Доказательство формулы для вычисления площади фигуры, ограниченной кривой,

 заданной параметрически. Вычисление площади фигуры, граница которой задана

 уравнением в полярной системе координат.

3. Длина дуги кривой заданной графиком функции, параметрическими уравнениями,

 уравнением кривой в полярной системе.

На главную