Математика решение задач контрольной работы

Машиностроительное черчение
Выполнение чертежей деталей
Разьемные соединения
Соединение шпилькой, трубное
Эскизирование деталей
Фотодело
Модели цифровых
фотоаппаратов
Трехцветный мир (RGB)
Зеркальные цифровые
фотоаппараты
Софт печати для
цифровой камеры
Обработка фотографий
Получение качественных
фотографий
Обработка изображений
Инстументы обработки
изображений
Использование фильтров
для обработки фото
Работа с обьектами и текстом
Фильтры Adobe Illustrator
Форматы документов,
публикация в Web
Искусство
История искусства
Ренессанс
Проторенессанс
Искусство Китая художники
дикой природы
средневековая философия
Китайские пейзажисты
Информатика
Характеристики и принципы
работы накопителей
Разрешение аппаратных
конфликтов
Электротехника
Задачи курсовой
Математика
Примеры решения задач
контрольной работы
Вычисление площадей
Вычисление длин дуг
Тройные и двойные интегралы
при решении задач
Вычисление объемов с помощью
тройных интегралов
Метод замены переменной
Площадь криволинейной трапеции
Двойные интегралы в полярных
координатах
Геометрические приложения
криволинейных интегралов
Интегрирование по частям

Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой.

ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ.

Площадью фигуры Ф называют число , которое не больше, чем площадь  объемлющей элементарной фигуры , например, составленных из многоугольников, и не меньше, чем площадь  любой объемлемой элементарной фигуры .

Поскольку , следует считать, что площадь имеет та фигура, для которой

.

ОПР. Криволинейной трапецией называют фигуру на плоскости, ограниченную осью ОХ,

прямыми с уравнениями  и  и кривой графика функции , определенной на отрезке .

Пусть  разбиение отрезка . В качестве объемлющей фигуры для криволинейной трапеции выбираем также криволинейную трапецию, построенной для

кусочно-постоянной функции . Аналогично, объемлемой фигурой для криволинейной трапеции будем считать криволинейную трапецию, построенную для кусочно-постоянной функции . Тогда  и .

Выражения для  и  являются интегральными суммами ( верхняя и нижняя интегральные суммы Дарбу) . Если разбиение , то сумма убывает,

а - возрастает. Если функция  интегрируема, то =.

Если  на отрезке , то площадь криволинейной трапеции равна -.

Если функция меняет знак на отрезке , то на отрезках , где  интеграл берется со знаком +, а на отрезках , где , интеграл берется со знаком - .

ОПР. Элементарной областью  на плоскости называют фигуру, ограниченную

 прямыми с уравнениями  и , графиками непрерывных функций

 и

ОПР. Элементарной областью  на плоскости называют фигуру, ограниченную

 прямыми с уравнениями  и , графиками непрерывных функций

 и .

ФОРМУЛЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ фигур  и .

  и .

ДОК. Если  и  - криволинейные трапеции , соответствующие функциям   и

 на отрезке и , то . Тогда  .

Если , но  на некоторых промежутках, то существует число , для которого для функций   и  выполняется условие

. Площади элементарных фигур, построенных для функций  и на отрезке  равны, т.е.

 .

Формула для площади фигуры доказывается аналогично. Площадь имеют фигуры, являющиеся конечным объединением элементарных областей типа  и .

ПРИМЕР 1. Площадь сектора окружности радиуса r с углом q .

РЕШЕНИЕ.

 .

Если граница криволинейной трапеции задается параметрически ,   ,

- возрастающая функция, , , . Тогда .

Действительно, по доказанному .

П 2. Вычисление площади в полярной системе координат.

ОПР. Элементарной областью  на плоскости называют фигуру, ограниченную лучами   и , кривой .

На главную